如何平分蛋糕？
然而，仔细研究一下，这种方法并不完全公平。对于分蛋糕的人来说，两个蛋糕的价值是相等的，但是对于选蛋糕的人来说，两个蛋糕的价值可能是很不一样的。所以选择蛋糕的人，往往能获得1/2以上的价值。一个简单的例子是，蛋糕表面一半是草莓，一半是巧克力。分蛋糕的人只对蛋糕体积感兴趣，所以把草莓部分分成一块，巧克力部分分成一块；但他不知道选择蛋糕的人更喜欢巧克力。所以选蛋糕的人可以得到蛋糕总价值的一半以上，而分蛋糕的人只能得到正好一半的价值。其实更公平的是，前一个人得到所有的草莓部分和一小部分巧克力，后一个人得到剩下的巧克力部分。这样可以保证两个人都能得到一半多一点的价值。
但是，为了实现上面提到的理想的划分，双方需要充分公开自己的信息，并且能够充分信任对方。然而，在现实生活中，这是很难做到的。考虑到蛋糕双方作弊的可能性，要做到绝对公平几乎是不可能的。所以只能退而求其次，给出一个普遍接受的“公平”定义。在公平分配的问题上，有一个公平的基本原则叫做“比例分配”。意思是如果有n个人分享蛋糕，每个人都认为自己至少得到了整个蛋糕的1/n值。从这个角度来说，“你
“让我选”的方案是公平的——在信息不对称的情况下，得到总价值的一半，已经是很满意的结果了。
如果分享蛋糕的人多了，也可以实现均衡分割，而且实现的方式不止一种。其中一个简单的方法是，每个得到蛋糕的人将蛋糕分成更小的等份，让下一个没有得到蛋糕的人选择。具体来说，让他们两个用“你分我选”的方法把蛋糕分成两块；然后，每个人把手中的蛋糕分成三份，让第三个人从每只手里挑出一份；然后，大家把手中的蛋糕分成四份，让第四个人从三个人中各选一份；一直这样下去，直到最后一个人自己选蛋糕。只要每个人都能平分蛋糕，无论挑哪一块，他都不会吃亏；而第n个人在每个人手里至少拿到了1/n块，加起来自然不会少于蛋糕总价值的1/n。虽然这种方式可能会把蛋糕分成一点一点，但可以保证每个人手里的蛋糕不低于自己认为的蛋糕总价值的1/n。
还有一种完全不同的分割方案叫做“最后归约算法”，同样可以实现均衡分割。我们还是用字母n来代表总人数。首先，第一个人从蛋糕上切下他认为是1/n的东西，然后把这一小块递给第二个人。第二个人可以选择直接把蛋糕送给第三个人，也可以选择从上面切下一小块(如果蛋糕在他看来大于1/n)给第三个人。以此类推，每个人都有机会“修整”蛋糕，然后交给下一个人。规定最后一个改变蛋糕大小的人得到蛋糕，剩下的n-1人从头开始重复前面的过程，分剩下的蛋糕。每完成一个过程，就会有一个人得到一个令他满意的蛋糕，下次重复这个过程的人数就会减少一个人。连续不断地
这样做，直到每个人都得到一块蛋糕。
第一轮流程结束后，拿到蛋糕的人可以保证手中的蛋糕是整个蛋糕价值的1/n。对于每一个没有拿到蛋糕的人来说，因为他传过去之后，后面的人只能减少蛋糕而不能添加，所以在他看来，蛋糕被拿走的那部分一定小于1/n，剩下的蛋糕对他来说还是足够的。在接下来的过程中，类似的道理也成立。更何况，在这个游戏规则下，每个人都会有意识地把手中的蛋糕修剪到1/n，作弊不会给他带来任何好处。分蛋糕的人从来不敢把蛋糕切小，否则得到蛋糕的可能是他；而如果他把一块大于1/N的蛋糕给了别人，在他眼里，剩下的蛋糕都不够，他最后的份额很可能远远小于1/n。
这样就完美的解决了均衡分割的问题。然而，正如我们之前所说，平衡条件只是一个最低要求。在生活中，人们对“公平”这个概念还有许多更难的形式理解。如果对公平性的要求稍加修改，上述方案的缺陷就会暴露出来。我们来看这种情况:如果n个人分蛋糕，每个人都认为自己拿到了至少1/n块蛋糕，但其中两个人还是打起来了，可能是什么原因？因为不同的人对蛋糕每一部分的价值判断标准不同，所以完全有可能虽然他至少分到1/n份，但在他看来，有人手里的蛋糕比他多。看来我们通常所说的公平至少有一个意思——大家都觉得别人的蛋糕不如我的好。在公平分割理论中，我们把满足这个条件的蛋糕分割方案称为无嫉妒分割。
无嫉妒分割是比平衡分割更强的要求。如果大家的蛋糕没有我多，那么我的蛋糕至少有1/n，也就是说满足无嫉妒条件的分割一定满足均衡条件。另一方面，满足均衡条件的分割也不一定是无嫉妒的。举个例子，A、B、C分享蛋糕，但是A只关心蛋糕的大小，B只关心蛋糕上草莓的数量，C只关心蛋糕上巧克力条的数量。最后的结果是A，B，C的蛋糕大小相等，但是A的蛋糕上什么都没有。B的蛋糕上有一颗草莓和两颗巧克力，C的蛋糕上有两颗草莓和一颗巧克力。所以，从自己的角度来说，大家得到的整个蛋糕的价值刚好是1/3，但这种划分显然是不科学的——B和C会互相嫉妒。
我们之前介绍的两种平衡分割方案都不满足无嫉妒。以第一个方案为例。如果有三个人分享蛋糕，按照规则，第一个人要分给第二个人，然后每个人把自己的蛋糕切成三等份，让第三个人从每个人身上选一份。这种划分方式可以保证每个人至少能得到1/3的蛋糕，但可能会发生第三个人从第二个人中选择的部分，恰恰是第一个人非常想要的。这样第一个人会觉得第三个人手里的蛋糕更好，这种划分不和谐。